Chapter 1.1 (Matem 11. kitsas)

Liitmis- ja korrutamis­lause kombinatoorikas

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Põhi­koolis õppisime, et

sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n jagatist, P\left(A\right)=\frac{k}{n}.

Kuidas keerulisematel juhtudel suurusi n ja k leida, selgub, kui tutvuda mõningate mõistete ja lausetega matemaatika osast, mida nimetatakse kombinatoorikaks.

Enne kui tutvume lähemalt matemaatika selle valdkonnaga, meenutame, et hulk on matemaatikas üks­teisest erinevate objektide kogum. Sellest järeldub, et hulgas korduvaid elemente ei esine.

Üldiselt uurib kombinatoorika, kuidas antud hulga elementidest moodustada uusi hulki, mis täidavad teatud tingimusi. Uue hulga elemente nimetatakse siis ühenditeks. Näiteks võib eesti tähestikust kui hulga elementidest moodustada kolme­täheliste a-tähega algavate sõnade hulga.

Järgnevalt vaatlemegi mõningaid kombinatoorika mõisteid ja lauseid.

Kui lapsele on antud võimalus valida 3 erineva auto ja 2 erineva nuku seast üks mängu­asi (kas auto või nuku), siis pole kahtlust, et erinevaid valiku­võimalusi on 3 + 2 = 5. Kombinatoorikas sõnastatakse vastav reegel nn liitmis­lausena:

kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks m erinevat võimalust ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate valiku­võimaluste arv on n + m.

Selle näite korral oli objektiks A auto ja objektiks B nukk ning n = 3 ja m = 2.

Teatud valikute arvu leidmiseks kasutatakse aga nn korrutamis­lauset:

kui objekti A valikuks on n erinevat võimalust ja objekti B valikuks m erinevat võimalust ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi erinevate valiku­võimaluste arv on n · m.

Kui lapse ees on jälle 3 autot ja 2 nukku, aga lapsel lubatakse võtta nii üks auto kui ka üks nukk (lühemalt auto ja nukk), on erinevaid võtmise võimalusi 3 · 2 = 6. Põhjendame, miks on see nii. Kui laps on võtnud juba ühe auto, siis kaasneb sellega 2 võimalust nuku valikuks ja nii iga auto korral. Et erinevaid autosid on kolm, siis valiku­võimalusi kokku on 2 + 2 + 2 = 3 · 2 = 6.

Kombinatoorika korrutamis­lauset on võimalik analoogilise mõtte­käiguga üldistada kolme ja enama objekti juhule, lugedes eelnevalt näiteks kaks objekti juba valituks.

Kui pole arusaadav, kas ülesande lahendamisel kasutada liitmis- või korrutamis­lauset, tuleb sõnastada küsimus nii, et valiku­viisi ise­loomustav väljend tuleb selgelt esile. Liitmis­lause korral on see kas A või B (lühemalt A või B), korrutamis­lause korral aga nii A kui ka B (lühemalt A ja B).

Näide 1.

Lapsel on neli kaardikest numbritega 0, 1, 2, 3. Ta paneb neist juhuslikult kolm kaarti kõrvuti lauale. Kui suur on tõe­näosus, et nii tekib kolme­kohaline arv?

Lahendus. Tõenäosuse arvutamisel on enamikel juhtudel ots­tarbekas leida esmalt kõigi võimaluste arv n, sest nende seas on ka sündmuse soodsad juhud.

Nii­siis leiame arvu n. Esimese kaardi lauale panekuks on 4 erinevat võimalust ja kui neist üks on laual, jääb teise kaardi valikuks 3 võimalust. Kui ka see kaart on laual, on kolmanda kaardi valikuks 2 võimalust. Et kaartide kõrvu seadmine käib põhi­mõttel niikui ka II kui ka III kaart, tuleb vastavad võimaluste arvud korrutada. Seega n = 4 · 3 · 2 = 24.

Leiame nüüd soodsate juhtude arvu k. Kuna arv ei saa alata numbriga 0, on esimese kaardi võtmiseks 3 sobivat võimalust. Teise numbri valikuks on võimalusi jälle 3, sest nüüd sobib ka 0. Kolmanda kaardi valikuks jääb 2 võimalust. Järelikult k = 3 · 3 · 2 = 18 ja tõenäosus p = 18 : 24 = 0,75.

Näide 2.

Leiame, mitu autot saaks Eestis registreerida, kui numbri­märgis oleks lubatud kas neli numbrit või neli suur­tähte, kaasa arvatud võõr­tähed, aga välja arvatud Õ, Ä, Ö, Ü, Š, Ž.

Korrutamis­lause järgi oleks saanud numbritega eristada 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 autot. Analoogiliselt ainult suur­tähtedega 264 autot. Et kasutada võis kas ainult numbreid või ainult suur­tähti, siis liitmis­lause põhjal on vastuseks 104 + 264 = 466 976.

Ülesanded

  1. kas üks õun või üks apelsin või üks pirn?

    Vastus. Sel juhul on võimalik puu­vilju võtta  erineval viisil.
  2. nii üks õun kui ka üks apelsin kui ka üks pirn?

    Vastus. Sel juhul on võimalik puu­vilju võtta  erineval viisil.
  1. sõnas ei tohi olla korduvaid tähti?
    Vastus. Siis saaks moodustada  erinevat sõna.
  2. sõnas võib olla ka korduvaid tähti?
    Vastus. Siis saaks moodustada  erinevat sõna.
  3. sõnas on üks täis­häälik ja üks kaas­häälik?
    Vastus. Siis saaks moodustada  erinevat sõna.

Vastus. 5 inimest saavad teatris üks­teise kõrval istuda  viisil ja 7 inimest  viisil.

Vastus. Kahe­kohalisi arve on . Nende seast  ei sisalda korduvaid numbreid ja  sisaldavad korduvaid numbreid. Korduvate numbritega kahe­kohalised arvud moodustavad % kahe­kohaliste arvude kogu­arvust.

Vastus. Nelja­kohaliste arvude seas on  arvu, mis sisaldavad korduvaid numbreid. Need moodustavad % kõigist nelja­kohalistest arvudest.

Vastus. Valida on võimalik  erinevat kolme­käigulist lõunat.

Vastus. Linnast A viib külla D  erinevat teed.

Vastus. Seda saab teha  erineval viisil.

Vastus. Sellise süsteemi korral saab registreerida  autot.

Vastus. Kokku saab moodustada  sellist arvu.

Please wait