Luku 1.1 (Matem 10. kl)

Naturaal-, täis- ja ratsionaal­arvud

Arvu mõiste hakkas kujunema aasta­tuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inim­konna arenguga. Juba ürg­ühis­konnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis meile kooli­õpingutest esimesena tuntuks saanud naturaal­arvude hulk N:

N = {0; 1; 2; 3; ...}.

Et loendamise teel on nulli raske saada, siis ei kuulunud see arv esi­algu tuntud arvude hulka. Alles 7. sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks.

Oleme õppinud nelja põhi­tehet naturaal­arvudega. Need on liitmine ja korrutamine ning nende pöörd­tehted lahutamine ja jagamine.

Ülesanne 1. Naturaal­arvud

Nr.

a

b

a + b

a · b

ab

a : b

1.

3

7

10

21

–4

\frac{3}{7}

2.

3.

4.

5.

6.

Eelmises ülesandes selgus, et vahe 3 – 7 ei ole naturaal­arv. Seega, tundes vaid naturaal­arve, ei saa me alati lahutamis­tehet sooritada. Siit ka vajadus laiendada naturaal­arvude hulka uute arvudega nii, et saadud arvu­hulgas oleks alati võimalik ka lahutamis­tehe. Võttes kasutusele naturaal­arvude vastand­arvud, osutubki see võimalikuks.

Naturaal­arvu n vastand­arv n defineeritakse selliselt, et

n + (–n) = 0.

Naturaal­arvud koos oma vastand­arvudega moodustavad täis­arvude hulga Z:

Z = {...; – 2; –1; 0; 1; 2; ...}.

Eraldi räägitakse veel positiivsete täis­arvude hulgast Z+:

Z+ = {1; 2; 3; ...}

ja negatiivsete täis­arvude hulgast Z:

Z = {...; –3; –2; –1}.

Niisiis

Z = Z ∪ {0} ∪ Z+   ja   N ⊂ Z (joon.1.1).

Joon. 1.1

Võtnud kasutusele vastand­arvud, saame lahutamis­tehet tõlgendada liitmisena (vahet summana):

ab = a + (–b).

Et igal täis­arvul leidub vastand­arv, siis on lahutamis­tehe täis­arvude hulgas alati võimalik – iga kahe täis­arvu vahe on alati täis­arv.

Täis­arvud liigituvad paaris- ja paarituteks arvudeks. Täis­arvu, mis jagub kahega, nimetatakse paaris­arvuks. Ta on esitatav kujul 2n, kus n ∈ Z. Paaritud, s.t kahega mitte­jaguvad täis­arvud, esituvad aga kujul 2n + 1, kus n ∈ Z.

Ülesanne 2. Täis­arvud

Nr.

a

b

a + b

a · b

ab

a : b

1.

3

7

10

21

–4

\frac{3}{7}

2.

3.

4.

5.

6.

Äsja lahendatud ülesandes selgus, et täis­arvude jagatis pole alati täis­arv. Kui arv a jagub arvuga b (b ≠ 0), siis on jagatiseks täis­arv, vastasel juhul murd­arv ab. Kui a ja b on sama­märgilised, siis on see murd positiivne, kui eri­märgilised, siis negatiivne.

Laiendades täis­arvude hulka murd­arvudega, saame uue arvu­hulga, kus on alati võimalik ka jagamis­tehe (v.a jagamine nulliga). Kõik täis­arvud ning positiivsed ja negatiivsed murd­arvud kokku moodustavad ratsionaal­arvude hulga Q. (joon. 1.2).

Joon. 1.2

Kuna iga täis­arvu saab avaldada jagatisena \frac{a}{b} (näiteks -5=-\frac{10}{2}0=\frac{0}{2}), siis võime defineerida, et

ratsionaal­arvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena ab, kus a ∈ Z, b ∈ Z ja b ≠ 0.

Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi mõisteid:

harilik murdab (a ∈ N, b ∈ N ja b ≠ 0),

lihtmurdab (a ∈ N, b ∈ N, b ≠ 0 ja a < b),

liigmurdab (a ∈ Nb ∈ N, b ≠ 0 ja a b),

segaarv: naturaal­arvu ja liht­murru summa: 2\frac{1}{2}=2+\frac{1}{2},

kümnend­murd: murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne: 3,75=3+\frac{7}{10}+\frac{5}{100}.

Ühte ja sama arvu võib esitada mitmel erineval kujul: 1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5.

Iga ratsionaal­arvu saab esitada kümnend­murruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda:

  1. Ühel juhul tekib lõplik kümnend­murd:

\frac{51}{40}=1,275.

  1. Teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnend­murd:

\frac{17}{6}=17\ :\ 6=2,833...=2,8\left(3\right).

Et ka lõplikku kümnend­murdu on võimalik esitada lõpmatuna ja perioodilisena (1,275 = 1,27500… = 1,275(0)), siis võime öelda:

iga ratsionaal­arv avaldub lõpmatu perioodilise kümnend­murruna.

Kehtib ka vastu­pidine väide:

iga lõpmatu perioodiline kümnend­murd esitab ratsionaal­arvu.

Näide.

Avaldame lõpmatu perioodilise kümnend­murru x = 1,2(43) kahe täis­arvu jagatisena.

a ja 1a on teine­teise pöörd­arvud.

Ülesanded A

Ülesanne 3. Naturaal-, täis- ja ratsionaal­arvud
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
Ülesanne 4. Murrud
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
  • –1,5
  • 1212
  • 40
  • -75
  • 21,01
  • 10005
  • 12,5
  • –15
  • -23
  • 47
  • 15
  • 0
  • –40
  • 2,3
  • 0,005
Ülesanne 5. Naturaal-, täis- ja ratsionaal­arvud
  1. naturaal­arvud;
  2. täis­arvud ega harilikud murrud;
  3. täis­arvud;
  4. naturaal­arvud ega kümnend­murrud.
Ülesanne 6. Naturaal-, täis- ja ratsionaal­arvud
  1. ei ole täis­arvud;
  2. ei ole positiivsed täis­arvud;
  3. on ratsionaal­arvud;
  4. on täis­arvud.
Ülesanne 7. Naturaal-, täis- ja ratsionaal­arvud
  • Iga naturaal­arv on täis­arv.
  • Iga ratsionaal­arv on täis­arv.
  • Iga täis­arv pole ratsionaal­arv.
  • Iga naturaal­arv on positiivne.
  • Leidub ratsionaal­arve, mis pole täis­arvud.
  • Leidub naturaal­arve, mis pole ratsionaal­arvud.
  • Leidub täis­arve, mis on naturaal­arvud.
  • Leidub naturaal­arv, mis pole positiivne.
  • Iga harilik murd on täis­arv.
  • Iga naturaal­arv on esitatav hariliku murruna.
  • Leidub harilikke murde, mis on täis­arvud.
  • Leidub liht­murd, mis on naturaal­arv.
Ülesanne 8. Vastand­arvud ja pöörd­arvud

Vastus. Arvude 7 ja –13 summa vastand­arv on .

Vastus. Arvude 7 ja –13 vastand­arvude vahe on .

Vastus. Arvude 7 ja –13 vahe pöörd­arv on .

Vastus. Arvude 7 ja –13 pöörd­arvude summa on .

Vastus. Arvude 7 ja –13 pöörd­arvude vahe ja vastand­arvude summa jagatis on .

Vastus. Arvude 7 ja –13 vastand­arvude summa ja pöörd­arvude vahe korrutis on .

Ülesanne 9. Hariliku murru avaldamine kümnend­murruna

716 = 

8180 = 

-925 = 

79 = 

23 = 

-518 = 

Ülesanne 10. Kümnend­murru avaldamine kahe täis­arvu jagatisena

0,(5) = 

1,34(5) = 

0,4(12) = 

0,(9) = 

1,(4) = 

0,7(5) = 

2,2(34) = 

3,(9) = 

Ülesanded B

Ülesanne 11. Lõplik kümnend­murd või lõpmatu kümnend­murd?

\frac{7}{16}

\frac{81}{80}

-\frac{9}{25}

\frac{7}{9}

\frac{2}{3}

-\frac{5}{18}

  1. Milliste murdude nimetajate alg­teguriteks on vaid arvude 2 ja 5 astmed?
  2. Millised taandumatud murrud teisenevad lõplikuks kümnend­murruks, millised mitte?
  1. Põhjendage punktis 2 püstitatud hüpotees. Uurige selleks järgnevat näidet:
    \frac{3}{40}=\frac{3}{2\cdot2\cdot2\cdot5}=\frac{3\cdot5\cdot5}{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5}=\frac{75}{1000}=0,075
Ülesanne 12. Kümnend­murru avaldamine kahe täis­arvu jagatisena

0,(7) = ;

0,(76) =  ja

0,(765) = .

Sõnastage reegel analoogiliste lõpmatute perioodiliste kümnend­murdude teisendamiseks harilikeks murdudeks.

Ülesanne 13. Kümnend­murru avaldamine kahe täis­arvu jagatisena

0,2(5) = ;

0,2(54) = ;

0,2(543) =  ja

0,12(54) = .

Sõnastage reegel analoogiliste kümnend­murdude teisendamiseks harilikeks murdudeks.

Odota